February 6th, 2012

Геометрия: трисекция отрезка

Трисекция (лат. tri – “натрое”, т.е. на три части + sectio рассечение)

Когда Здесь и Здесь я разделил отрезок на 5 частей, а затем доказал аксиоматичность такого деления по всем законам логики и математики, то внутренняя радость во мне явно превышала достигнутый результат. Но подсознательно я понимал, что деление циркулем отрезка на 5,10 и более частей, т.е. кратно 1/10 от Единицы дадут свои плоды. Дают читатель…

Но внутренний голос подсказывал: “ты должен сделать еще “кое-что”. А именно разделить отрезок на ТРИ равные части - “1/3 отрезка” и, как это принято: Циркулем и линейкой без деления.  Понимал важность такой трисекции, наравне с делением отрезка на 1/10 для Геометрии. Ибо это из понятия “инструментарий” в Геометрии, что означает, либо ты понимаешь и владеешь физической Геометрией, либо ты в ней амеба обреченный изрыгать: “beta-равно-два-арксинус-отношений радиусов-умноженной–на- два-арксинуса” и т.д. Т.е. в реальных знаниях Геометрии – отрицательная величина. Однако, с другой стороны, не представлял себе даже, как подойти к этой проблеме - “трисекция отрезка”.

Счастье привалило со стороны, от одного из блоггеров - math-rat. Он то ли шутя, то ли всерьез написал мне намедни, что есть два “важных угла”: “Угол, тангенс которого равен 1/2 и угол, тангенс которого равен 1/3!!! Они легко строятся, а вместе они дают 45 градусов! 

Я как-то удивился информации, поскольку не встречал такую “задачу” и главное не знал, что эти два угла в сумме составляют 45 градусов. Проверил – так оно и есть. Отложил вопрос на “утро”. Но я говорил тут и не раз: математика есть “язык Богов” и потому, в этой “диковине” должно быть что-то важное. Очень! Так оно поутру и “созрело”:

Вы все видите на картинке. Оказалось надо “просто” присоединить к полученному мною раннее треугольнику “корень из 5” (т.е. с катетами “1” и ”2” единиц), для деления отрезка на 5-частей, треугольник с “тангенсом 1/3” ( с катетами “1” и “3” единиц, тогда получается искомый результат – под синей “чертой”: трисекция отрезка! Можно десятки раз измерять и убеждаться, что полученным методом отрезок точно делится на ТРИ РАВНЫЕ ЧАСТИ, потом уже и на 6,12,18 и т.д.. Главное - КРАТНО ТРЕМ!

Потому и получаем на этой картинке (ниже синей линии), что:

tangens “альфа”= 2/3:2=1/3;

tangens “бетта”=1:2=1/2;

Вот это и есть главная новость для Вас у меня, други мои. Разумеется дам и математическое доказательство, по всем законам логики и геометрии, но позже.

Возникает вопрос: а можно построить этот рисунок проще, сразу в рамках треугольника “корень из 5”? ДА! Для этого обратите внимание, что при делении отрезка на 5 частей, мы получаем “отрезки”: 0,2; 0,4 и т.д. Теперь надо просто взять конкретный отрезок (скажем – 0,4) и циркулем отложить его от “нуля” – ТРИ раза? т.е. “утроить”учим – 1,2ед.! И затем уже от этой точки отложить перпендикуляр равный – 0,4 ед.. Мы можем провести теперь гипотенузу не только между этими двумя точками. Но и до “конца”, пересечения перпендикуляра от вершины нашего отрезка – 2ед. на картине. Это и есть искомый результат.

И вывод: “Прямая АВ” – делится на 3 равных отрезка с помощью циркуля. И это Аксиома! 

P.S. Особо благодарю блоггера - math-rat, за эту наводку!!!